Личного опыта такого перелёта у меня нет, поэтому на «у нас обычно не спрашивают» не ориентировался бы. Из обсуждения для себя вынес бы ещё один момент: если письмо авиакомпании отвечает только про посадку, не считать вопрос закрытым — отдельно сверить комплект для возможной проверки при выезде. В запросе лучше сразу указать маршрут из Тбилиси, одного родителя и разные фамилии, а ответ распечатать вместе с оригиналами, не пряча его только в телефоне.
Я бы ещё сохранил не только само письмо, но и дату запроса, маршрут и данные сотрудника или номер обращения, если перевозчик их укажет. Если ответ придёт шаблонный, сразу уточнил бы, распространяется ли он именно на вылет из Тбилиси и ситуацию с разными фамилиями. А перед поездкой сверил бы папку по этому ответу: оригиналы отдельно, копии отдельно, письмо сверху. Так меньше шансов спорить о том, что именно имелось в виду.
Я бы ещё не смешивал «что спросит авиакомпания» и «что могут проверить на выезде»: это разные точки контроля, и письмо перевозчика тут не универсальный пропуск. Сам такого перелёта не проходил, поэтому не стал бы уверенно обещать, что достаточно согласия и свидетельства. Запросил бы письменный ответ именно по регистрации из Тбилиси, а комплект собрал бы по нему: оригиналы в ручной клади, копии отдельно. «На месте разберёмся» с ребёнком — слишком туристический план.